Vektor • einfach erklärt mit Beispielen (2024)

In diesem Beitrag erklären wir dir, was ein Vektor ist und was du mit ihm beschreiben kannst.

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Vektor einfach erklärt

Wähle einen Punkt im Koordinatensystem aus und verschiebe ihn in irgendeine Richtung. Dabei hast du eine Änderung in der x- und y-Koordinate. Diese Verschiebung des Punktes wird Vektor genannt.

Mit einem Vektor kannst du von einem Ausgangspunkt alle Punkte im Raum beschreiben. Ein Vektor in einem Koordinatensystem wird mit einem Pfeil dargestellt.

Hinweis: Man unterscheidet Vektoren und Skalare. Ein Skalar stellt dabei einfach eine Zahl dar.

Was ist ein Vektor?

Stell dir vor, du hast einen Punkt A gegeben, und musst nun einen anderen Punkt B wählen, der eine bestimmte Länge von Punkt A entfernt ist. Verbindest du die beiden Punkte, so erhältst du die Strecke . Allerdings kannst du aus der Ansicht nicht erkennen, ob die Strecke nun in Richtung B oder in Richtung A verläuft. Um das zu markieren, fügst du eine Pfeilspitze ein. Damit verdeutlichst du in welche Richtung die Strecke geht. Im unteren Bild von A nach B. Dieser Pfeil heißt Vektor von A nach B.

Zwei Vektoren sind gleich, wenn sie die gleiche Länge haben und in die gleiche Richtung zeigen.

Als Notation für Vektoren verwendest du entweder Kleinbuchstaben mit einem Pfeil darüber, wie zum Beispiel oder den Start- und Endpunkt eines Vektors mit einem Pfeil darüber, zum Beispiel .

Lage von Vektoren

Im folgenden Abschnitt erklären wir dir, wie verschiedene Vektoren zueinander liegen können.

Ein Vektor ist parallel zu einem Vektor , wenn er entweder in die gleiche oder in die entgegengesetzte Richtung () zeigt.

Ein Vektor heißt Gegenvektor zu einem Vektor , wenn parallel zu ist, gleich lang ist und in die entgegengesetzte Richtung zeigt. Dabei ist der Gegenvektor von gleich . Es ist also

Zwei Vektoren und stehen senkrecht aufeinander, wenn der Winkel, den die beiden Vektoren einspannen, beträgt.

Vektoren in einem Koordinatensystem

In einem Koordinatensystem kannst du jeden Punkt durch seine Koordinatendarstellung beschreiben. Dabei ist der Punkt A um Längeneinheiten entlang der x-Achse, und um Längeneinheiten entlang der y-Achse vom Ursprung aus verschoben. Damit definiert der Punkt A also einen Vektor

.

Dabei stellt die Verschiebung in der x-Achse und die Verschiebung in der y-Achse dar.

Analog gilt das auch für die Vektoren im Raum

Beispiel

Startest du am Ursprung und gehst -1 Längeneinheiten entlang der x-Achse und 3 Längeneinheiten entlang der y-Achse, so landest du beim Punkt und damit hast du den Vektor

Oder betrachtest du zum Beispiel den Punkt . Dieser ist um 4 entlang der x-Achse und um -1 entlang der y-Achse verschoben. Dieser Punkt wird durch folgenden Vektor beschrieben.

Vektoren durch zwei Punkte berechnen

Hier zeigen wir dir, wie du einen Vektor berechnen kannst, wenn du zwei Punkte zur Verfügung hast.

Hast du zwei Punkte und gegeben, so kannst du den Vektor folgendermaßen berechnen.

Beispiel

Betrachte zum Beispiel die zwei Punkte und . Um die Verschiebung in der x-Achse zu berechnen, rechnest du einfach die x-Koordinate von B minus die x-Koordinate von A.

Das gleiche machst du auch, um die Verschiebung in der y-Achse zu berechnen. Du rechnest also die y-Koordinate von B minus die y-Koordinate von A.

Somit erhältst du den Vektor

Unterschied Ortsvektor und Richtungsvektor

Man unterscheidet zwischen zwei Arten von Vektoren: Ortsvektoren und Richtungsvektoren/Verbindungsvektoren.

Ortsvektoren haben ihren Startpunkt immer am Ursprung und werden mit oder bezeichnet. So lautet zum Beispiel der Ortsvektor zum Punkt

Richtungsvektoren bzw. Verbindungsvektoren hingegen können ihren Startpunkt an jedem beliebigen Punkt haben und haben dementsprechend in ihrer Notation den Start- und Endpunkt, wie etwa . Zum Beispiel lautet der Richtungsvektor zwischen und

Länge eines Vektors

Ein Vektor besitzt immer eine gewissen Länge. Wenn du also einen Vektor gegeben hast, so kannst du seine Länge wie folgt berechnen.

Das heißt, du quadrierst erst die Komponenten des Vektors und ziehst dann von der Summe die Wurzel.

Beispiel

Es sei der Vektor gegeben und du willst jetzt seine Länge bestimmen. Du rechnest also

Möchtest du mehr Beispiele sehen? Dann schau dir unseren extra Beitrag Betrag eines Vektors dazu an!

Vektoren addieren und subtrahieren

Eine Vektoraddition oder Vektorsubtraktion erfolgt immer komponentenweise. Hast du also zwei Vektoren und , so rechnest du

.

Beispiel

Um die zwei Vektoren und zu addieren, zählst du die Komponenten Zeile für Zeile zusammen. Du erhältst somit

Analog gehst du bei der Subtraktion vor.

Skalarmultiplikation

Willst du einen Vektor verlängern oder verkürzen, so multiplizierst du ihn mit einer reellen Zahl , indem du jede Komponente einzeln mit multiplizierst.

Beispiel

Möchtest du zum Beispiel den Vektor um 50% verlängern, so multiplizierst den Vektor mit . Dabei erhältst du

Skalarprodukt

Das Skalarprodukt ist eine Abbildung, die zwei Vektoren nimmt und daraus eine reelle Zahl produziert. Hast du zwei Vektoren und gegeben, so ist das Skalarprodukt wie folgt definiert.

Ist dabei das Skalarprodukt gleich 0, so stehen die zwei Vektoren senkrecht aufeinander.

Das Skalarprodukt kann dir dabei helfen, die Länge eines Vektors zu bestimmen, denn für die Länge rechnest du

Eine weitere Verwendung des Skalarprodukts ist die Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren und . Dafür benutzt du die Formel

die im Zähler das Skalarprodukt der beiden Vektoren und enthält.

Beispiel

Betrachte die Vektoren und . Ihr Skalarprodukt lautet

Da das Skalarprodukt gleich 0 ist, stehen die beiden Vektoren senkrecht aufeinander.

Vektor Linearkombination

Wie du in den vorherigen Abschnitt gesehen hast, kannst du Vektoren addieren, subtrahieren und mit einem Vielfachen multiplizieren. Dabei heißt jede Summe von Vektoren Linearkombination.

sind dabei irgendwelche Zahlen.

Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren

Vektoren bis heißen linear abhängig, wenn sich einer der Vektoren durch eine Linearkombination der anderen darstellen lässt. Wenn du zum Beispiel zwei Vektoren und hast, so sind sie linear abhängig, wenn es ein gibt, sodass

Graphisch veranschaulicht bedeutet das, dass sie entweder in die gleiche oder entgegengesetzte Richtung zeigen (blauer und lila Vektor). Dagegen sind sie linear unabhängig, wenn sie in zwei verschiedene Richtungen zeigen (blauer und grüner Vektor).

Drei Vektoren , und sind linear abhängig, wenn es ein und ein gibt, sodass

Graphisch bedeutet das, dass alle drei Vektoren in der gleichen Ebene liegen (blaue und grüne Vektoren), zeigt jedoch ein Vektor aus der Ebene heraus, so sind sie linear unabhängig (blaue und lila Vektoren).

Vektor Kreuzprodukt

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren und liefert dir ein Vektor, der sowohl senkrecht zu als auch senkrecht zu steht. Das Kreuzprodukt berechnet sich folgendermaßen.

Beispiel

Du hast die Vektoren und gegeben. Ihr Kreuzprodukt lautet

Weitere Themen der Vektorrechnung

Es gibt noch weitere Themen, die sich mit Vektoren beschäftigen. Schau dir unbedingt auch unsere Videos zu den folgenden Themen an:

• Betrag eines Vektors
• Linearkombination
• Winkel zwischen zwei Vektoren
• Einheitsvektor
• Skalarprodukt
• Spatprodukt
• Kreuzprodukt/Vektorprodukt
• Vektorrechnung

Vektoren Aufgaben

In diesem Abschnitt geben wir dir zwei Aufgaben, mit denen du die Berechnung eines Vektors üben kannst.

Aufgabe 1: Vektoren berechnen im

Berechne den Vektor, der durch die zwei Punkte und gegeben ist.

Lösung Aufgabe 1

Um den Vektor zu berechnen, bedienst du dich der Regel „Spitze minus Fuß“. Das heißt, zuerst berechnest du die Verschiebung entlang der x-Achse

und dann die Verschiebung entlang y-Achse

Damit erhältst du dann den Vektor

Aufgabe 2: Vektoren berechnen im

Du hast die Punkte , gegeben. Berechne den dazugehörigen Vektor .

Lösung Aufgabe 2

Auch in dieser Aufgabe berechnest du den Vektor, indem du die Koordinaten von B minus die Koordinaten von A rechnest. Du rechnest also

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• Betrag eines VektorsDauer:03:09
• OrtsvektorDauer:02:17
• RichtungsvektorDauer:03:21